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几种常用方法|几种常用的正项级数审敛法的比较

时间：2019-08-02 资讯点击：

　　【摘要】无穷级数是高等数学的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，判别正项级数的敛散性更是数项级数的核心内容。正项级数的判敛方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧。本文归纳总结了几种常用的正项级数判敛法，比较了这些方法的不同点，总结了几种方法各自的特点与适用范围，便于学习者节约时间，提高效率。中国论文网 https://www.xzbu.com/8/view-11488453.htm　　无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。而数项级数又是无穷级数的一个重要组成部分，正项级数又是其中很重要的一类。因为许多数项级数都是通过将其化成正项级数而知其敛散性的，因此，正项级数的审敛就显得尤为重要。正项级数有几种审敛法，但一些学生学习中却有些茫然，看到一个级数不知选择哪种方法审敛，针对这种情况，现将几种常用的正项级数的审敛法比较如下：
　　方法一：收敛的必要条件：若级数收敛，则。判断级数敛散性时常用的是它的逆否命题，即：若，则必发散。所以当需判断数项级数的收敛性时，可先看一般项的极限是否为零，如为零不一定收敛，但如不为零，一定发散。如，因，故此级数发散。
　　方法二：收敛准则：正项级数收敛它的部分和数列有上界 (转载于:www.bjYlD.com 月亮岛教育网: 几种常用方法|几种常用的正项级数审敛法的比较)。此方法适用于前项和可求出的正项级数，但多数级数的前项和不易求，所以此方法不是很实用，不过利用此收敛准则却可得到下面比较实用的方法。
　　方法三：比较审敛法：设和都是正项级数，且存在正整数，当时有成立，则当收敛时，收敛；当发散时，也发散。用八个字简单的记就是“大收小收，小发大发”。用这个方法判断级数的敛散性时，需对该级数有个直观地敛散性的认识，当直观判断它可能收敛（或发散）时，需要将该级数的各项适当地放大（或缩小），使放大（或缩小）后的级数是已知的收敛（或发散）的级数，从而验证我们的判断是正确的。须注意放大（或缩小）的“度”要把握好，不然得不到想要的结论。为了避免这个问题，不妨用下面的方法。
　　方法四：比较审敛法的极限形式：设和都是正项级数，且，（1）当时，则与的敛散性相同。（2）当时，若收敛，。则收敛；（3）当时，若发散，。则发散；这个方法避免了放大或缩小的困扰，只要寻找一个能使成立的关于的代数式即可(转载于 :www.bjyLD.com 月亮岛教育网: 几种常用方法|几种常用的正项级数审敛法的比较)。
　　上面这两个方法适用于一般项是的有理式、无理式以及含有正弦函数、对数函数的正项级数。利用这两个方法判定一个正项级数的敛散性时，都需要预先选定某个收敛（或发散）的级数作为比较级数，常用的比较级数是级数和等比级数。
　　方法五：比值审敛法：设为正项级数，如果，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，不确定；此方法适用于一般项中含有，或几个数连乘积的因式。
　　方法六：根植审敛法：设为正项级数，如果，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，不确定；此方法适用于一般项中含有的因式。
　　以上这两种方法的优势是不用另外找比较级数，只用该级数本身即可判敛，不足之处是当时此法失效。
　　综合以上，当需要判别一个正项级数的敛散性时，可按以下方法进行：
　　例判定下列级数的敛散性：（1）；（2）
　　解（1）本题适宜采用根植判别法。由于，所以原级数收敛。这里用到
　　（2）利用比较审敛法的极限形式。由于
　　所以
　　又因为收敛，所以原级数收敛。
　　参考文献：
　　[1] 同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
　　[2] 四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1996.
　　[3] 王冲.浅析正项级数的比较判敛法[J].沧州师范学院学报，2015，3. 转载注明来源:https://www.xzbu.com/8/view-11488453.htm